Question

已知f（x）=x-lnx，g（x）=

lnx

x

，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；
（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调性，从而可求f（x）的极小值；
（Ⅱ）求导数，利用0＜x＜e时，g'（x）＞0，可得结论；
（Ⅲ）证明gmax(x)+

1

2

＜fmin(x)即可．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=x-lnx，∴f′（x）=

x-1

x

（x＞0），
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增
∴f（x）的极小值为f（1）=1------（4分）
（Ⅱ）证明：求导数可得g′(x)=

1-lnx

x

∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e]上单调递增------（3分）
（Ⅲ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）_min=1
∴gmax(x)+

1

2

=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1=fmin(x)------（3分）
∴f（x）＞g（x）+

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，确定函数的最值是关键．