Question

已知f（x）=|x+l|+|x-2|，g（x）=|x+l|-|x-a|+a（a∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，而-2 对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．
（Ⅱ）由题意可得|x-2|+|x-a|≥a 恒成立，而|x-2|+|x-a|的最小值为|2-a|=|a-2|，故有|a-2|≥a，由此求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，
而-2 对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5，
故不等式f（x）≤5的解集为[-2，3]．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x-2|+|x-a|≥a 恒成立．
而|x-2|+|x-a|的最小值为|2-a|=|a-2|，∴|a-2|≥a，
∴（2-a）²≥a²，解得a≤1，故a的范围（-∞，1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．