Question

20．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）上的一点A（1，m）到其焦点F的距离为$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设M是抛物线E上一动点，定点N为（$\frac{7}{2}$，1），求使|MF|+|MN|取得最小值t时，M的坐标，并求出t的值．
（Ⅲ）设过F的直线l交抛物线E于P、Q两点，且线段PQ的中点的纵坐标为1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）：抛物线的方程为y²=2px的准线l的方程为：x=-$\frac{p}{2}$，设点M（1，m）在l上的射影为M′，则|MF|=|MM′|=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，进而求出p值，得到抛物线方程，将x=1代入可得m的值；
（Ⅱ）求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MN|转化为|MN|+|PM|，利用 当P、N、M三点共线时，|MN|+|PM|取得最小值，把y=1代入抛物线y²=2x 解得x值，即得M的坐标
（Ⅲ）先假设P、Q的坐标，根据P、Q满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率公式和线段AB的中点的纵坐标的值可求出直线的斜率，可得答案．

解答 解：（I）：∵抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
∴其准线l的方程为：x=-$\frac{p}{2}$，
设点M（1，m）在l上的射影为M′，
则|MF|=|MM′|=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴p=1．
则抛物线E：y²=2x，
当x=1时，y=$±\sqrt{2}$，
即m=$±\sqrt{2}$，
（Ⅱ）由题意得 F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为 x=-$\frac{1}{2}$，
设点M到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MN|+|PM|，
故当P、N、M三点共线时，|MF|+|MN|取得最小值为|NP|=$\frac{7}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=4．
把y=1代入抛物线y²=2x 得 x=$\frac{1}{2}$，故点M的坐标是（$\frac{1}{2}$，1），
（Ⅲ）P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则有y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
两式相减得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2（x₁-x₂），
由线段PQ的中点的纵坐标为1，则y₁+y₂=2，
即y₁-y₂=x₁-x₂，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，即直线l的斜率为1，
故直线l的方程为：y=x-$\frac{1}{2}$，即2x-2y-1=0．

点评 本题考查抛物线的定义和性质应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．