Question

【题目】已知函数，.

（1）问：能否为偶函数？请说明理由；

（2）总存在一个区间，当时，对任意的实数，方程无解，当时，存在实数，方程有解，求区间.

Answer 1

【答案】（1）不可能是偶函数；（2）.

【解析】分析：（1）根据偶函数定义，分类讨论不同情况下是否存在偶函数的可能。

（2）讨论在x取正数、负数两种不同情况下的解集；再对每个情况下对a进行分类讨论存在性成立的条件。

详解：（1）定义域为关于原点对称，

当时，为偶函数，

当时，，则，

则，

若，则，

若，则，

所以不可能恒等于零，

即不可能是偶函数.

（2）先考虑，

①当时，无解；

②当时，，只有当时，才有，

③当时，可化为，

所以，

因为不是上式的根，所以，

解得，

即当时，；

再考虑，

①当时，无解；

②当时，，只有当时，才有，

③当时，可化为，

所以，

因为不是上式的根，所以，

解得，

即当时，；

综上，区间.