题目内容

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求直线EC与平面B₁BCC₁所成角的大小；
（2）求二面角E-AF-B的大小．

（1）解：建立坐标系如图所示，

则平面B₁BCC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$
∵E（2，1，2），C（0，2，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
可知直线EC的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ．
设直线EC与平面B₁BCC₁成角为θ，
则sinθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故直线EC与平面B₁BCC₁所成角的大小为 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可知：平面ABCD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ．
设平面AEF的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．得 $\text{[math]}$ ，
令x=1，则y=2，z=-1 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由图知二面角E-AF-B为锐二面角，故其大小为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出线面角；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小．
点评：本题考查了：通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角得出线面角；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的方法．必须熟练掌握．