题目内容
设函数y=f（x）（x∈R）是可导的函数，若满足（x-2）f′（x）≥0，则必有（ ）
分析：由不等式讨论导数的符合，利用函数的单调性进行求解．
解答：解：因为（x-2）f'（x）≥0，
所以若f'（x）=0，此时函数y=f（x）为常数，此时有f（1）=f（3）=f（2），所以f（1）+f（3）=2f（2）．
若f'（x）不恒等于0．
所以当x≥2时，f'（x）≥0，此时函数单调递增．所以f（3）＞f（2），
当x≤2时，f'（x）≤0，此时函数单调递减．f（1）＞f（2），所以f（1）+f（3）＞2f（2）．
综上f（1）+f（3）≥2f（2）．
故选A．
所以若f'（x）=0，此时函数y=f（x）为常数，此时有f（1）=f（3）=f（2），所以f（1）+f（3）=2f（2）．
若f'（x）不恒等于0．
所以当x≥2时，f'（x）≥0，此时函数单调递增．所以f（3）＞f（2），
当x≤2时，f'（x）≤0，此时函数单调递减．f（1）＞f（2），所以f（1）+f（3）＞2f（2）．
综上f（1）+f（3）≥2f（2）．
故选A．
点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，本题在判断时要主要当f'（x）恒等于0，即y=f（x）为常数时，也成立．
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