Question

已知函数f(x)=

2x+a

2x+1

为奇函数．
（1）求a值；   （2）求f（x）的值域；   （3）解不等式0＜f(3x-2)＜

15

17

．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

2x+a

2x+1

为奇函数，故f（0）=0可得a；
（2）令y=f（x）=

2x-1

2x+1

，可求得2^x=

1+y

1-y

＞0即可求得f（x）的值域；
（3）分析f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在R上单调递增，再结合f（0）=0，f（4）=

15

17

，即可求得其解集．

解答：解：（1）由f（0）=0得a=-1，…（4分）
（2）由a=-1得：y=f（x）=

2x-1

2x+1

，
∴（1-y）2^x=1+y，
显然y≠1，
∴2^x=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）．…（9分）
（3）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，在R上单调递增，且f（0）=0，f（4）=

15

17

，…（12分）
∴0＜3x-2＜4，从而有

2

3

＜x＜2．
∴所求不等式的解集为{x|

2

3

＜x＜2}…．（14分）

点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于（3），关键是需要首先判断f（x）的单调性，属于中档题．