题目内容
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于?x∈[0，+∞），x•f′（x）＞0，若f（a-1）+f（a-3）＜0，则a的取值范围（ ）
分析：?x∈[0，+∞），x•f′（x）＞0⇒f（x）在[0，+∞）上单调递增，再利用f（x）是定义在R上的奇函数，即可求得f（a-1）+f（a-3）＜0中a的取值范围．
解答：解：∵?x∈[0，+∞），x•f′（x）＞0，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
当x1＜x2＜0时，
-x1＞-x2＞0，由f（x）在[0，+∞）上单调递增知，
f（-x1）＞f（-x2），又f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），
∴-f（x1）＞-f（x2），
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，0]上单调递增，
∴f（x）是定义在R上单调递增．
又f（a-1）+f（a-3）＜0，
∴f（a-1）＜-f（a-3）=f（3-a），
∴a-1＜3-a，
∴a＜2．
a的取值范围为（-∞，2）．
故选：C．
∴当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
当x1＜x2＜0时，
-x1＞-x2＞0，由f（x）在[0，+∞）上单调递增知，
f（-x1）＞f（-x2），又f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），
∴-f（x1）＞-f（x2），
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，0]上单调递增，
∴f（x）是定义在R上单调递增．
又f（a-1）+f（a-3）＜0，
∴f（a-1）＜-f（a-3）=f（3-a），
∴a-1＜3-a，
∴a＜2．
a的取值范围为（-∞，2）．
故选：C．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，得到f（x）在（0，+∞）上单调递增是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．
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