Question

在数列中，，，且；

（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；

Answer 1

（1）略（2）（3）证明略

解析:

本题源自等差数列通项公式的推导。

（1）证明：由题设（），得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（2）由（1），

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

将以上各式相加，得（）．

所以当时，

上式对显然成立．

（3）由（2），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

　　　　　．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项．