Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足Sn=2-an-

2

2n

(n∈N*)
（1）求出a₁的值，并用n与a_n表示出a_n+1
（2）求证存在一个等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列
（3）试直接写出bn+

300

n

an(n∈N*)的最小值．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入条件可求得a₁，由Sn=2-an-

2

2n

，可得Sn+1=2-an+1-

2

2n+1

，两式相减整理后可得a_n+1
（2）由an+1=

1

2

an+

1

2n+1

，得2n+1an+1-2nan=1，于是3×2n+1an+1-3×2nan=3，令bn=3×2n，即可满足题意；
（3）由（2）可求得a_n，从而得到bb+

300

n

an，利用基本不等式可求得其最小值，注意考虑n的取值范围；

解答：（1）解：由条件，n=1时，S₁=2-a₁-1，解得a1=

1

2

；
∵Sn=2-an-

2

2n

①，∴Sn+1=2-an+1-

2

2n+1

②，
②-①，得Sn+1-Sn=(2-an+1-

2

2n+1

)-(2-an-

2

2n

)，即an+1=an-an+1+

1

2n

，
所以an+1=

1

2

an+

1

2n+1

；
（2）证明：∵an+1=

1

2

an+

1

2n+1

，∴2n+1an+1-2nan=1，
则3×2n+1an+1-3×2nan=3，
令bn=3×2n，∵

bn+1

bn

=2对一切n∈N^*恒成立，
所以存在等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列；
（3）解：bn+

300

n

an（n∈N^*）的最小值为

123

2

，
由（2）知2n+1an+1-2nan=1，所以{2ⁿa_n}为公差为1的等差数列，2ⁿa_n=1+（n-1）•1=n，
所以an=

n

2n

，又bn=3×2n，
所以bn+

300

n

an=3×2ⁿ+

300

2n

≥2

3×2n× 300 2n

=60，
当3×2n=

300

2n

即2ⁿ=10时取等号，
由于n∈N^*，且n=3时3×23+

300

23

=

123

2

，n=4时，3×24+

300

24

=

259

4

，
所以所求最小值为

123

2

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差关系的确定，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．