Question

如图2-2-2所示,设AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的异面直线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证:MN∥α.

图2-2-2

Answer 1

思路分析:要证明MN∥α,由于AB、CD为异面直线,所以要在α内找一条直线,证明它与MN平行较为困难,因此可转化为证明过MN的一个平面与平面α平行.

证法一:过点A作AE∥CD,交α于点E,

∵α∥β,则AECD,即AEDC为平行四边形.

设P为AE的中点,连结PN、PM、BE,

则PN∥ED,MP∥BE.

又∵PNα,EDα,∴PN∥α.

同理可得,PM∥α.

又∵PM∩PN=P,

∴平面PMN∥平面α.

又MN平面PMN,

∴MN∥α.

证法二:如图2-2-3所示,连结AD,取AD的中点Q,连结QM、QN,

∵Q、N分别为AD、CD的中点,∴QN∥AC.

∵QNβ,ACβ,

∴QN∥β.

∵α∥β,QN∥β,QNα,

图2-2-3

∴QN∥α,同理可证QM∥α.

∵QM∩QN=Q,∴平面QMN∥α.

∵MN平面MNQ.∴MN∥α.

  绿色通道:

本题的证法较多,解题关键是如何处理好条件:AB、CD是两条异面线段.证法一实质上是把CD在两平行平面间沿着同一方向移到AE位置,AB和AE可确定一平面,借助于平面几何来处理问题;证法二是借助于空间四边形的对角线AD,把AB和CD分别放在两相交平面内来研究.本题还可以连结CM,延长交α于点R,证明MN∥RD即可.