Question

设，其中a为正实数

（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；

（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．

专题：

计算题．

分析：

（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．

（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．

解答：

解：对f（x）求导得

f′（x）=×e^x

（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x²﹣8x+3=0，解得

结合①，可知

所以，是极小值点，是极大值点．

（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，

结合①与条件a＞0知ax²﹣2ax+1≥0在R上恒成立，

因此△=4a²﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．

点评：

本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解．