Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面B₁DE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析：（1）作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF，由三角形中位线定理，我们易证明AF∥ED，CF∥B₁E．结合面面垂直的判定定理可得平面ACF∥面B₁DE，再由面面平行的性质得到AC∥平面B₁DE；
（Ⅱ）由（1）的结论，由三棱锥的几何特征，我们可得三棱锥A-BDE的体积VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE，计算出底面面积及棱锥的高，代入体积公式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：作BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中点，∴CE∥B₁F，且CE=B₁F，（1分）
∴四边形B₁FCE是平行四边形，∴CF∥B₁E．（2分）
∵E，F是CC₁、BB₁的中点，∴EF

∥ .

.

BC，（3分）
又BC

∥ .

.

AD，∴EF

∥ .

.

AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，（5分）
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．（6分）
又AC?平面ACF，∴AC∥面B₁DE．（7分）
（Ⅱ）S△ABD=

1

2

AB•AD=2．　（8分）VA-BDE=VE-ABD=

1

3

S△ABD•CE=

1

3

S△ABD•CE=

2

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，证明线面平行有两种办法，一是利用线面平行的判定定理，本题较难实现；二是先证明面面平行，再根据面面平行的性质，得到线面平行．