Question

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设点M，N的坐标，当直线l垂直于x轴时，分别表示出和，进而可求得；再看直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出判断出其范围，综合求得的最大值，根据S≤λtanMQN恒成立判断出恒成立．求得λ的最小值．
解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则直线PA，PB的斜率分别是．
由条件得．
即．
所以动点P的轨迹C的方程为．
（Ⅱ）设点M，N的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
当直线l垂直于x轴时，．
所以．
所以．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x+1），
由得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
所以．
所以．
因为y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以．
综上所述的最大值是．
因为S≤λtanMQN恒成立，
即恒成立．
由于．
所以cosMQN＞0．
所以恒成立．
所以λ的最小值为．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了知识的综合运用，分析推理和基本的运算能力．