Question

【题目】设函数在单调递增，其中.

（1）求的值；

（2）若，当时，试比较与的大小关系（其中是的导函数），请写出详细的推理过程；

（3）当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3) .

【解析】试题分析：

(1)利用导函数结合恒成立的条件可得；

(2)结合题意可知，据此可得函数f(x)的解析式，结合函数的解析式可得.

(3)构造新函数，结合函数的特征和恒成立的条件可得的取值范围是.

试题解析：

（1）∵在单调递增，∴在上恒成立，即恒成立.∵当时， ， ∴，又，∴，∴，∴.

（2）由（1）可知，∴ ，∴，∴，令，∴，∴在上单调递增，∴，令，则在单调递减，∵，∴，使得在单调递增，在单调递减，∵，∴，∴，又两个函数的最小值不同时取得： ，即： .

（3）∵恒成立，即： 恒成立，令，则，由（1）得： 即，∴,即： ，∴，∴，当时，∵，∴ ，∴单调递增，∴，符合题意；当时， 在上单调递增， ，∴单调递增，∴，符合题意；当时， 在上是增函数，∴ ，∴单调递增，∴，符合题意；当时， ，∴在上单调递增，又，且，∴在存在唯一零点，∴在单调递减，在单调递增，∴当时， ，∴在单调递减，∴，不合题意，综上： .