Question

幂函数f（x）=xⁿ的图象过点(

1

2

，8)，则n=

 

，若f（a-1）＜1，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据幂函数f（x）过点(

1

2

，8)，列出关于n的方程，求解即可得到n的值；根据幂函数的解析式，去掉“f”，列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围．

解答：解：∵幂函数f（x）=xⁿ的图象过点(

1

2

，8)，
∴(

1

2

)n=8，即2^-n=2³，
∴-n=3，即n=-3；
∴f（x）=x^-3，
根据幂函数的性质可知，函数f（x）在（-∞，0）的值域为（-∞，0），
①当a-1＜0，即a＜1时，f（a-1）＜0＜1恒成立，
②当a-1＞0，即a＞1时，f（a-1）＜1，即（a-1）^-3＜（a-1）⁰，
又∵-3＜0，
∴a-1＞1，解得a＞2，
综合①②可得，a的取值范围是a＜1或a＞2．
故答案为：-3；a＜1或a＞2．

点评：本题考查了幂函数的概念、解析式，定义域和单调性．考查了求幂函数的解析式问题，运用了待定系数法的解题方法，求解析式一般选用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等．还考查了利用幂函数的单调性求解不等式，对于幂函数的问题，关键是正确的画出幂函数的图象，根据幂函数在第一象限的图形，结合幂函数的定义域、奇偶性，即可画出幂函数的图象，应用图象研究幂函数的性质．属于基础题．