Question

观察以下各等式:

sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=,

sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=,

sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=.

分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.

Answer 1

反映一般规律的等式是（表述形式不唯一）

sin²α+cos²(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.

证明:左边=

=1cos2α+(cos2αcos60°-sin2αsin60°)+sinαcosαsin²α

=1cos2α+cos2α-sin2α+sin2α-=1-==右边.

本题是开放性问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:

sin²(α-30°)+cos²α+sin(α-30°)cosα=,

sin²(α-15°)+cos²(α+15°)+sin(α-15°)cos(α+15°)=,等等.

sin²α+cos²β+sinαcosβ=,其中β-α=30°.