题目内容
下列命题中，真命题是
①若f′（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处取极值．
②函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上存在零点．
③“a=1”是函数f(x)=
在定义域上是奇函数的充分不必要条件．
④将函数y=2cos2x-1的图象向右平移
个单位可得到y=sin2x的图象．
⑤点(
，
)是函数f(x)=cos
x(
sin
x+cos
x)图象的一个对称中心．
②③
②③
．①若f′（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处取极值．
②函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上存在零点．
③“a=1”是函数f(x)=
| a-ex |
| 1+aex |
④将函数y=2cos2x-1的图象向右平移
| 3π |
| 4 |
⑤点(
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
分析：令f（x）=x3，可判断①错误；根据函数零点存在定理，可判断②错误；根据奇函数的定义求出a值，利用充要条件的定义，可判断③的真假，根据函数图象平移变换法则，求出平移后函数的解析式，对照后可判断④的真假，根据正弦型函数的对称性，将点的横坐标代入可判断⑤的真假．
解答：解：令f（x）=x3，则f′（x0）=3x2，当x=0时，f′（x）=0，此时函数f（x）不是极值，故①错误；
函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上是连续的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根据函数零点存在定理，可得函数在区间（1，e）上存在零点，故②正确；
函数f(x)=
在定义域上是奇函数，则f(-x)=
=
=-f(x)=-
，即解得a=±1，故③“a=1”是函数f(x)=
在定义域上是奇函数的充分不必要条件正确；
将函数y=2cos2x-1=cos2x的图象向右平移
个单位可得到y=cos[2（x-
）]=cos（2x-
）=-sin2x的图象，故④错误．
当x=
时，函数f(x)=cos
x(
sin
x+cos
x)=sin(x+
)+
=
，此时函数取最大值，故⑤错误
故答案为②③
函数f（x）=lnx+x-2在区间（1，e）上是连续的，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，根据函数零点存在定理，可得函数在区间（1，e）上存在零点，故②正确；
函数f(x)=
| a-ex |
| 1+aex |
| a-e-x |
| 1+ae-x |
| aex-1 |
| ex+a |
| a-ex |
| 1+aex |
| a-ex |
| 1+aex |
将函数y=2cos2x-1=cos2x的图象向右平移
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 2 |
当x=
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故答案为②③
点评：本题是命题的真假判断为载体考查了函数取极值的条件，函数的零点，奇函数的定义，函数图象的平移，函数的对称性，是函数与逻辑的综合应用．
练习册系列答案
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