题目内容
口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球,甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球,每次取出一个球,规则如下:若一方摸出一个红球,则此人继续下一次摸球;若一方摸出一个白球,则由对方接替下一次摸球,且每次摸球彼此相互独立,并由甲进行第一次摸球.(1)求在前三次摸球中,甲没有摸到红球的概率;
(2)设第n次由甲摸球的概率为an,试建立an+1与an的递推关系.
解:(1)记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，
则P（A）=P（B）=
,
P(
)=P(
)=
,且A、B相互独立.
据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,且
P(ξ=0)=P(
·B)+P(
·
·
)=
×
+(
)3=
.
(2)据摸球规则可知,第n次由甲摸球包括如下两个事件:
①第n-1次由甲摸球,且摸出红球,其发生的概率为an-1×
;
②第n-1次由乙摸球,且摸出白球,其发生的概率为(1-an-1)×
.
∵上述两个事件互斥,∴an=
an-1+
(1-an-1),即an=
an-1+
(n≥2).
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