Question

已知定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．若f（3^x）+f（9^x-2）＞0，则实数x的取值范围为（　　）

• A、(0，

  1

  2

  )
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：本题考查的抽象函数的应用，由于f（x+y）=f（x）+f（y），我们不难计算出f（0）=0，并由此进而给出函数f（x）为奇函数，且在R上递增，则f（3^x）+f（9^x-2）＞0可以转化为一个指数不等式，解不等式即可求出满足条件的实数x的取值范围．

解答：解：由函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）
f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
∴f（x-x）=f（0）=0=f（x）+f（-x）．
即f（x）为奇函数，则f（x）在R单调递增．
∴f（3^x）+f（9^x-2）＞0
可转化为f（3^x+9^x-2）=f[（3^x）²+3^x-2]＞0=f（0）
即（3^x）²+3^x-2＞0
解得3^x＜-2，或3^x＞1
结合指数函数性质，解得x＞0
故选B

点评：本题的解答过程比较复杂，当我们遇到一个抽象函数时，我们要分析其已知条件，凑出一些特殊点的函数值，分析函数的性质，然后对要求的不等式进行转化．