Question

已知圆C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．
（1）当r在（1，+∞）内变化时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作轨迹E的两条切线，切点分别为P，Q．求证：直线PQ必经过x轴上的一个定点B，并写出点B的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x，y），则AM的中点．因为C（1，0），，．在⊙C中，因为CD⊥DM，所以，，由此能求出点M的轨迹E的方程．
（2）轨迹E的准线l：x=-1，所以，可设N（-1，t），过N的斜率存在的直线方程为：y-t=k（x+1），由得．由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．由此入手能够证明直线PQ必经过x轴上的一个定点B，并能求出B的坐标．
解答：解：（1）设M（x，y），则AM的中点．
因为C（1，0），，．
在⊙C中，因为CD⊥DM，所以，，
所以．
所以，y²=4x（x≠0）
所以，点M的轨迹E的方程为：y²=4x（x≠0）（5分）（说明漏了x≠0不扣分）
（2）轨迹E的准线l：x=-1
所以，可设N（-1，t），过N的斜率存在的直线方程为：y-t=k（x+1）
由得．
由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．
设直线NP，NQ斜率分别为k₁，k₂，则k₁k₂=-1①且，
所以，
所以，直线PQ的方程：．
令y=0，则
由①知，x=1即直线PQ过定点B（1，0）．（10分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．