Question

【题目】已知椭圆：的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与圆相交所得弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两点，且，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在；或或.

【解析】

（1）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程；

（2）讨论直线的斜率存在和不存在，当斜率存在时则存在和的两种情况，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出斜率，即可求出直线方程。

（1）由题意可得，

过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线方程为：，

由直线与圆相交所得弦的长度为，

可得，

又，

解方程可得，，，

即有椭圆的方程为；

（2）设

①若直线垂直于轴，与椭圆交于，

取，，满足

②直线不垂直于轴时，设方程为，代入椭圆方程得

，

①，②

对于，包含两种情况

i）,即，

∴，即

代入①②得，消去得

，解得,满足

的方程为或

ii) ，即

∴

代入①②得，消去得

，有，无解

综上的方程为或或