题目内容

在△ABC中，AB= $数学公式$ - $数学公式$ ，C=30°，则AC+BC的最大值是________．

4
分析：先令BC=a，AC=b，由余弦定理，求得a和b的关系式，利用基本不等式求得整理求得（a+b）²的范围，进而求得a+b即AC+BC的最大值．
解答：记BC=a，AC=b，由余弦定理，
（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²=a²+b²-2abcos30°
=a²+b²- $\text{[math]}$ ab
=（a+b）²-（2+ $\text{[math]}$ ）ab
≥（a+b）²- $\text{[math]}$ （2+ $\text{[math]}$ ）（a+b）²
= $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ ）（a+b）²，
即（a+b）²≤ $\text{[math]}$ =16，
当且仅当a=b时，等号成立，
∴AC+BC的最大值为4．
故答案为：4
点评：本题主要考查了余弦定理的应用和基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对三角函数基础的综合运用．