Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n=3an-1（n≥2）．
（1）用数学归纳法证明：?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；
（2）求a₂₀₁₃的末位数字．

Answer 1

分析：（1）利用数学归纳法和二项式定理即可证明；
（2）利用（1）的结论和3⁴=81即可证明．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=3，
假设当n=k，a_k=4m_k+3，m_k∈N．
则当n=k+1时，ak+1=3ak
=34mk+3
=(4-1)4mk+3
=

C

0 4mk+3

44mk+3+

C

1 4mk+3

44mk+2(-1)+…+

C	4mk+2 4mk+3

•4•(-1)4mk+2+

C	4mk+3 4mk+3

(-1)4mk+3
=4T-1=4（T-1）+3．其中T=

C

0 4mk+3

44mk+2+

C

′1 4mk+3

44mk+1(-1)+…+

C	4mk+2 4mk+3

(-1)4mk+2∈N^*．
∴?m_k+1=∈N使a_k+1=4m_k+1+3，
∴当n=k+1时，结论也成立．
∴?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3．
（2）an+1=3an=34mn+3=81mn×27，
故a₂₀₁₃的末位数字是7．

点评：本题考查了数学归纳法和二项式定理的性质，属于难题．