题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，若
PF2
•
F1F2
=0，
OH
•
PF1
=0，|
OH
|=λ|
OF1
|，λ∈[
1
3
，
1
2
]（其中O为坐标原点）．求椭圆C离心率e的最大值．
由题意知PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，则有△F1OH与△F1PF2相似，
所以
|OH|
|OF1|
=
|PF2|
|F1P|
=λ，设F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，P（c，y1），
则有
c2
a2
+
y12
b2
=1，解得y1=
b2
a
，
所以|PF2|=y1=
b2
a
．
根据椭圆的定义得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-
b2
a
，
∴λ=
b2
2a2-b2
，
即
b2
a2
=
2λ
1+λ
，
所以e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
=
2
1+λ
-1，
∵e2=
2
1+λ
-1在[
1
3
，
1
2
]上是单调减函数，
∴当λ=
1
3
时，e2取最大值
1
2
，
所以椭圆C离心率e的最大值是
2
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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