题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(
6
5
，0)），P（cosα，sinα），其中0＜α＜
π
2
．
（1）若 cosα=
5
6
，求证：
PA
⊥
PO
；
（2）若|
PA
|=|
PO
|，求sin(2α+
π
4
)的值．
（1）由题设知
PA
=(
6
5
-cosa，-sina)，
PO
=（-cosa，-sina）．
所以
PA
•
PO
=(
6
5
-cosa)(-cosa)+(-sina)2=-
6
5
cosa+cos2a+sin2a=-
6
5
cosa+1．
因为cosa=
5
6
，所以
PA
•
PO
=0．故
PA
⊥
PO
．
（2）因为|
PA
|=|
PO
||，所以|
PA
|2=|
PO
|2，
即(cosa-
6
5
)2+sin2a=cos2a+sin2a．
解得cosa=
3
5
．
因为0＜a＜
π
2
，所以sina=
4
5
．
因此sin2a=2sinacosa=
24
25
，cos2a=2cos2a-1=-
7
25
．
从而sin(2a+
π
4
)=
2
2
sin2a+
2
2
cos2a=
2
2
×
24
25
+
2
2
×(-
7
25
)=
17
2
50
．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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