Question

已知等腰三角形的底角的正弦值等于

4

5

，则该三角形的顶角的正切值为

24

7

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，三角形ABC，AB=AC，过A作底边BC上的高AD，根据“三线合一”得到AD为顶角平分线，可得∠BAD等于∠BAC的一半，又根据底角的正弦值，设出底角对边AD及斜边AB，利用勾股定理表示出BD，在直角三角形ABD中，根据锐角三角形函数定义求出tan∠BAD的值，然后利用二倍角的正切函数公式化简tan∠BAC，将求出的tan∠BAD的值代入即可求出顶角的正切值．

解答：解：根据题意画出图形，
如图所示：过A作AD⊥BC，与底边BC交于D点，

由题意得：sinB=

4

5

，设AD=4x，则AB=5x，
根据勾股定理可得BD=3x，
∴tan∠BAD=

BD

AD

=

3

4

，
又AB=AC，且AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAD，
则tan∠BAC=

2tan ∠BAC 2

1-tan2 ∠BAC 2

=

2tan∠BAD

1-tan2∠BAD

=

24

7

．
故答案为：

24

7

点评：此题考查了锐角三角函数定义，勾股定理，等腰三角形的性质，以及二倍角的正切函数公式，利用了数形结合的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．