Question

已知函数f（x）=（x-k）e^x，
（ I）求f（x）的单调区间；
（ II）求f（x）在区间[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）当k≤1时，f（x）＞k²-2在区间[0，1]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）=（x-k）e^x，知f′（x）=（x-k+1）e^x，由此能求出f（x）的单调区间．
（II）当k-1≤0，f（x）_min=f（0）；当0＜k-1≤1，f（x）_min=f（k-1）；当k-1＞1，即k＞2时，f（x）_min=f（1）．由此能求出f（x）在区间[0，1]上的最小值．
（Ⅲ）由（II）知，只需当k≤1时，f（x）在区间[0，1]的最小值-k＞k²-2，由此能求出k的取值范围．
解答：解：（I）∵f（x）=（x-k）e^x，
∴f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，解得x=k-1，
由f′（x）＞0，得x＜k-1；由f′（x）＜0，得x＞k-1．
∴f（x）的增区间是（k-1，+∞），减区间是（-∞，k-1）．
（II）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，
∴f（x）_min=f（0）=-k；
当0＜k-1≤1，即1＜k≤2时，
由（I）知，函数f（x）在区间[0，k-1]上递减，在（k-1，1]上递增，
∴f（x）_min=f（k-1）=-e^k-1．
当k-1＞1，即k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，
∴f（x）_min=f（1）=（1-k）e．
（Ⅲ）由（II）知，
当k≤1时，f（x）＞k²-2在区间[0，1]上恒成立，
只需当k≤1时，
f（x）在区间[0，1]的最小值-k＞k²-2，
∴-2＜k＜1．
故k的取值范围是{k|-2＜k＜1}．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最小值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用