Question

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．
（1）求证：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=

1

a-x

-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，与x取值无关得证；
（2）由定义域为[a+12，a+1]，得-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，再由f（x）=

1

a-x

-1即可求解．

解答：证明：（1）∵f（x）=

x+1-a

a-x

=

1

a-x

-1，
∴f（2a-x）=

1

a-(2a-x)

-1=-

1

a-x

-1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=

1

a-x

+（-

1

a-x

）-2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）∵f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]，
∴-1-a≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
又f（x）=

1

a-x

-1，
∴-3≤

1

a-x

-1≤-2，即f（x）的值域为[-3，-2]．

点评：本题考查函数的值域，关键在于对f（x）的化简（化为f（x）=

1

a-x

-1），难点在于由x的范围到-x的范围，再到a-x的范围，最后到

1

a-x

的范围的探讨，属于难题．