Question

下列命题：①?x∈R，不等式x²+2x＞4x-3成立；②若log₂x+log_x2≥2，则x＞1；③命题“若a＞b＞0且c＜0，则

c

a

＞

c

b

”的逆否命题；④若命题p：?x∈R，x²+1≥1．命题q：?x₀∈R，x02-2x₀-1≤0，则命题p∧?q是真命题．其中真命题有

①②③

．

Answer 1

分析：根据实数的平方是大于或等于零的数，可得不等式x²+2x＞4x-3的等价不等式在实数范围内恒成立，故①正确；根据基本不等式的适用条件，结合log₂x与log_x2互为倒数，是同号的两个数，可得log₂x＞0，故②正确；对于③，根据逆否命题与原命题同真同假，直接判断原命题的真假即可．然后利用不等式的基本性质，可以证出原命题为真命题，故③正确；对于④，可以分别证出命题p和命题q都是真命题，从而得到题p∧?q是假命题，故④不正确．由此得到正确答案．

解答：解：对于①，不等式x²+2x＞4x-3整理，得
原不等式等价于x²-2x+3＞0，
∵x²-2x+3=（x-1）²+2≥2＞0
∴原不等式恒成立，故①正确；
对于②，因为log₂x•log_x2=1，两个数互为倒数，
所以log₂x与log_x2同号，当log₂x+log_x2≥2时，
可得log₂x与log_x2都为正数，
根据基本不等式，有log₂x+log_x2≥2

log2x•logx2

=2，
此时有log₂x＞0且log_x2＞0，
∴x＞1，故②正确；
对于③，命题“若a＞b＞0且c＜0，则

c

a

＞

c

b

”的逆否命题与原命题同真同假，
因此判断原命题的真假性即可，
若a＞b＞0，两边都除以ab，得0＜

1

a

＜

1

b

…（*），
又因为c＜0，将（*）两边都乘以c，得0＞

c

a

＞

c

b

，
所以原命题是真命题，故③是真命题，正确；
对于④，∵x²≥0对任意的x∈R均成立，
∴命题p：“?x∈R，x²+1≥1”是真命题．
∵存在x₀=0，使得x02-2x₀-1=-1≤0
∴命题q：“?x₀∈R，x02-2x₀-1≤0”是真命题，
∴命题?q是假命题．
∵命题“p∧?q”当中有一个真命题，另一个是假命题
∴“p∧?q”是假命题，故④不正确．
综上所述，真命题有三个：①②③，
故答案为：①②③

点评：本题借助于命题真假的判断，着重考查了二次不等式恒成立、基本不等式和不等式等价变形等知识点，属于中档题．