Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），由|OP|=

10

2

得x02+y02=

5

2

，由

PF1

•

PF2

=

1

2

，得x02+y02-c2=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由

y=x x2 3 +y2=1

，得A(

3

2

，

3

2

)，设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理知y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，由

OM

+

ON

=λ

OA

，知x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 4-3m2

2

，O（0，0）到直线MN的距离为d=

3 10 m

10

，由此能求出S_△OMN的最大值．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|OP|=

10

2

得x02+y02=

5

2

，
由

PF1

•

PF2

=

1

2

，得（-c-x₀，-y₀）•(c-x0，-y0)=

1

2

，
即x02+y02-c2=

1

2

，
所以c=

2

，又因为

c

a

=

6

3

，所以a²=3，b²=1，
椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1；
（2）由

y=x x2 3 +y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，
设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，∴x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

，
∴|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 4-3m2

2

，
∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=

3 10 m

10

，
∴S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 4-3m2

4

•

3 10 m

10

=

3 • (4-3m2)•3m2

4

≤

3

2

，
当m=

6

3

，即λ=

2

时等号成立，S_△OMN的最大值为

3

2

．

点评：本题考查求椭圆的方程和求△OMN面积的最大值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．