Question

如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙OD的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面POD；
（Ⅱ）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

解（I）因为OA=OC，D是AC的中点，
所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC 在平面POD中，
过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC 连接CH，
则CH是OC在平面上的射影，
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°= 
在Rt△POD中，OH=
在Rt△OHC中，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为