Question

已知函数f(x)=-4cos²x+asin·cosx，将f(x)的图像按向量n(，2)平移后，所得的图像关于直线x=对称.

(Ⅰ)求实数a的值，并求f(x)取最大值时x的集合；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间.

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=-2(1+cos2x)+2asin2x,=2asin2x-2cos2x-2, 

将f(x)的图像按向量n=(-,2)平移后,得函数的解析式为y=2acos2x+2sin2x. 

∵此函数图像关于直线x=对称,∴2cos+2sin=±,解得a=1 

∴f(x)=2sin2x-2cos2x-2=4sin(2x-)-2,当sin(2x-)=1,即2x-=+2kπ,x=+kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值,此时x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.

(Ⅱ)由(Ⅰ)当-+2kπ≤2x-≤+2kπ, 

即+kπ≤x≤+kπ时,f(x)为增函数,∴f(x)的单调增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z),

同理得,减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).