题目内容
已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件:对任意的实数x1,x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,
其中λ是大于0的常数,设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-λf(a).
(1)证明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;
(2)证明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2;
(3)证明［f(b)］2≤(1-λ2)［f(a)］2.
思路分析:(1)利用不等式的传递性及反证法证明;(2),(3)都是由构造法,结合不等式的传递性证明.
证明:(1)任取x1,x2∈R,x1≠x2,
则由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］①
和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,②
可知,λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,
从而λ≤1.
假设有b0≠a0,使得f(b0)=0,
则由①式知0＜λ(a0-b0)2≤(a0-b0)［f(a0)-f(b0)］=0,矛盾.
所以不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.
(2)由b=a-λf(a),③
可知(b-a0)2=［a-a0-λf(a)］2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2［f(a)］2.④
由f(a0)=0和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0)［f(a)-f(a0)］≥λ(a-a0)2.⑤
由f(a0)=0和②式知,［f(a)］2=［f(a)-f(a0)］2≤(a-a0)2.⑥
则将⑤⑥代入④式,得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2.
(3)由③式,可知［f(b)］2=［f(b)-f(a)+f(a)］2
=［f(b)-f(a)］2+2f(a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2
≤(b-a)2-2·
［f(b)-f(a)］+［f(a)］2
=λ2［f(a)］2-
(b-a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2
≤λ2［f(a)］2-
·λ·(b-a)2+［f(a)］2
=λ2［f(a)］2-2λ2［f(a)］2+［f(a)］2
=(1-λ2)［f(a)］2.
