题目内容
某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高（设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m）．
分析：设山高PQ，则，∠PAQ和∠PBQ可知，然后在△APQ、△BPQ中表示出AQ，BQ，求∠AQB和AB，最后利用余弦定理求得关于h的一元二次方程求得h．
解答：
解：画出示意图（如图所示）
设山高PQ=h，则△APQ、△BPQ均为直角三角形，
在图（1）中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°．
∴AQ=
=
h，BQ=
=h．
在图（2）中，
∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，
所以由余弦定理得：
AB2=AQ2+BQ2-2AQ•BQcos∠AQB，
即25002=（
h）2+h2-2
h•h•cos135°=（4+
）h2，
∴h=
≈984.4（m）．
答：山高约984.4m．
解：画出示意图（如图所示）设山高PQ=h，则△APQ、△BPQ均为直角三角形，
在图（1）中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°．
∴AQ=
| PQ |
| tan30° |
| 3 |
| PQ |
| tan45° |
在图（2）中，
∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，
所以由余弦定理得：
AB2=AQ2+BQ2-2AQ•BQcos∠AQB，
即25002=（
| 3 |
| 3 |
| 6 |
∴h=
| 2500 | ||||
|
答：山高约984.4m．
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用．作为解决实际问题而言，建立适当的数学模型是正确解题的重要前提．
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