Question

已知函数f(x)=alnx-

1

x

，a为常数．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-5=0垂直，求实数a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当x≥1时，f（x）≤2x-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义，即可求得实数a的值；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数大于0可得函数的单调增区间，导数小于0可得函数的单调减区间；
（3）设g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），求导函数g′(x)=

-2x2+ax+1

x2

，设h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0，分类讨论
：当a≤1时，可得g（x）在[1，+∞）上是减函数从而g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3；当a＞1时，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1=

a+ a2+8

4

＞1，x2=

a- a2+8

4

＜ 0，从而可得f（x₁）＞2x-3，不满足题意，故可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=

ax+1

x2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-50垂直，
所以f'（1）=a+1=2，即a=1．                          …（4分）
（2）由f′(x)=

ax+1

x2

，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
当a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜-

1

a

，所以f（x）的单调增区间为(0，-

1

a

)；
由f'（x）＜0，得x＞-

1

a

，所以f（x）的单调减区间为(-

1

a

，+∞)．  …（10分）
（3）设g（x）=alnx-

1

x

-2x+3，x∈[1，+∞），∴g′(x)=

-2x2+ax+1

x2

设h（x）=-2x²+ax+1，h（0）=1＞0
当a≤1时，h（x）=-2x²+ax+1的对称轴为x=

a

4

＜1，h（x）在[1，+∞）上是减函数，h（x）≤h（1）=a-1≤0
∴g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）上是减函数
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤2x-3
当a＞1时，令h（x）=-2x²+ax+1=0得x1=

a+ a2+8

4

＞1，x2=

a- a2+8

4

＜ 0
当x∈[1，x₁）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在[1，x₁）上是增函数；
当x∈（x₁，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，x₁）上是减函数；
∴g（1）＜g（x₁），即f（x₁）＞2x-3，不满足题意
综上，实数a的取值范围为a≤1

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确求导函数．