Question

已知函数f(x)=x-

4

x

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数f(x)=x-

4

x

，x∈[-2，-1]的值域．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，看其是否关于原点对称，然后判定f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义进行判定；
（2）在区间（0，+∞）上任取两个数x₁，x₂且x₁＜x₂，然后计算f（x1）-f（x2），通过化简变形，判定其符号，根据函数单调性的定义进行判定即可；
（3）根据奇函数性质可得函数在[-2，-1]上的单调性，从而求出函数的值域．

解答：（本题14分）
（1）证明：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=-x-

4

-x

=-x+

4

x

=-(x-

4

x

)=-f(x)
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x₁，x₂∈（0，+∞）设x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=x1-

4

x1

-(x2-

4

x2

)=(x1-x2)-(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）解：f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴f_max（x）=f（-1）=-1+4=3f_min（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数的单调性的判定和利用单调性求函数值域，属于中档题．