Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=23，a₅+b₃=17．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，

1+2d+q4=23 1+4d+q2=17

结合已知q＞0可求q，d，进而可求通项
（II）由（1）可得，C_n=（3n-2）•2^n-1，结合数列的特点考虑利用错位相减求和

解答：解：（I）由已知可得，

1+2d+q4=23 1+4d+q2=17

由等比数列的各项都为正可得，q＞0
解可得，q=2，d=3
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，b_n=2^n-1
（II）由（1）可得，C_n=（3n-2）•2^n-1
S_n=1•2⁰+4•2¹+…+（3n-2）•2^n-1
2S_n=1•2+4•2²+…+（3n-5）•2^n-1+（3n-2）•2ⁿ
两式相减可得，-S_n=1+3（2+2²+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ=1+3×

2(1-2n-1)

1-2

-(3n-2)•2n
S_n=（3n-5）•2ⁿ+5

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列及等比 数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和方法中的重点和难点