Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+2cos2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c=

3

，f（C）=3，若2sinA=sinB，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式化简f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)+2，由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ解得x的范围，即为f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（C）=3可得sin(2C+

π

6

)=

1

2

，再由角C的范围求出C的值，2sinA=sinB，即2a=b，再由余弦定理可得
a²+b²-ab=3，联立方程组求出a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2，
令 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（C）=3得，2sin(2C+

π

6

)+2=3，∴sin(2C+

π

6

)=

1

2

．
∵0＜C＜π，∴2C+

π

6

=

π

6

或2C+

π

6

=

5π

6

，即C=0（舍去）或

π

3

．
∵2sinA=sinB，由正弦定理得2a=b  ①．
再由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos

π

3

=a2+b2-ab=3 ②，
由①②解得a=1，b=2．

点评：本题主要考查余弦定理、正弦函数的单调性，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．