题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，记a_n与a_n+1的等差中项为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设集合 $数学公式$ ，等差数列{c_n}的任意一项c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小数，且110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

解：（I）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，∴ $\text{[math]}$ ，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（3分）
（II）∵k_n为a_n与a_n+1的等差中项
∴ $\text{[math]}$ …（4分）
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ①
由①×4，得 $\text{[math]}$ ②
①-②得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（8分）
（III）∵ $\text{[math]}$
∴A∩B=B
∵c_n∈A∩B，c₁是A∩B中的最小数，∴c₁=6．
∵{c_n}是公差为4的倍数的等差数列，∴ $\text{[math]}$ ．…（10分）
又∵110＜c₁₀＜115，∴ $\text{[math]}$ ，解得m=27．
所以c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，则 $\text{[math]}$ ，…（12分）
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，
∴c_n=12n-6．…（13分）
分析：（I）根据点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，可得 $\text{[math]}$ ，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和；
（III）先确定A∩B=B，再确定{c_n}是公差为4的倍数的等差数列，利用110＜c₁₀＜115，可得c₁₀=114，由此可得{c_n}的通项公式．
点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键．