Question

已知函数f（x）=（x-a）lnx，f（x）的导函数为f'（x）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设g(x)=

1

2

x2+ax-f′(x)(a＞-1)，求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，利用导数求函数在定义域内的最值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，代入g(x)=

1

2

x2+ax-f′(x)(a＞-1)，求导后分-1＜a＜0和a≥0分析函数的单调区间，最后结论分写即可．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x=

1

e

．

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

∴f（x）的最小值为f(

1

e

)=-

1

e

．
（Ⅱ）∵f′(x)=lnx+

x-a

x

，
∴g(x)=

1

2

x2+ax-(lnx+

x-a

x

)．
g′(x)=x+a-(

1

x

+

a

x2

)=(x+a)(1-

1

x2

)=

(x+1)

x2

(x+a)(x-1)．
（1）当-1＜a＜0时，在（0，-a），（1，+∞）内g'（x）＞0；
在（-a，1）内g'（x）＜0．
∴（-a，1）为递减区间，（0，-a），（1，+∞）递增区间．
（2）当a≥0时，在（0，1）内，g'（x）＜0；
在（1，+∞）内，g'（x）＞0．
∴（0，1）为递减区间，（1，+∞）为递增区间．
综上所述，当-1＜a＜0时，g（x）单调递增区间为（0，-a），（1，+∞），
递减区间为（-a，1）；
当a≥0时，g（x）单调递增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．属有一定难度题目．