Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
（1）求该函数的定义域和值域；
（2）判断函数的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由2^x＞0知2^x+1＞1，从而可得函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可作出判断；

解答：解：（1）∵2^x+1＞1，
∴x∈R，即该函数的定义域为R，
f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，即f（x）的值域为（-1，1）；
（2）f（x）为奇函数，
∵定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)×2x

(2-x+1)×2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
∴f（x）为R上的奇函数．

点评：本题考查函数定义域值域的求解、函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决奇偶性的基本方法，熟记基本函数的值域是解决相关问题的基础．