题目内容
已知a＞0，函数f（x）=
+
在R上满足f（-x）=f（x），其中e为自然对数的底数
（1）求实数a的值
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
（1）求实数a的值
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
分析：（1）根据奇函数的性质得：f（-1）=f（1），代入解析式化简求出a的值；
（2）由（1）求出f（x），再由单调性的定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论．
（2）由（1）求出f（x），再由单调性的定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论．
解答：解：（1）∵f（-x）=f（x），∴f（-1）=f（1）
即
+
=
+
，
+ae=
+
即(
-e)
=a(
-e)，
∴
=a(a＞0)，解得a=1------（4分）
（2）由（1）得，f（x）=ex+e-x
设（0，+∞）上任意两个实数x1，x2，且x1＜x2------（1分）
则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+
=(ex1-ex2)(1-
)
=
------（4分）
∵0＜x1＜x2且y=ex在R为增函数，
∴ex1＜ex2，x1+x2＞0∴ex1-ex2＜0；ex1+x2＞e0=1------（2分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．------（1分）
即
| e-1 |
| a |
| a |
| e-1 |
| e |
| a |
| a |
| e |
| 1 |
| ea |
| e |
| a |
| a |
| e |
即(
| 1 |
| e |
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
∴
| 1 |
| a |
（2）由（1）得，f（x）=ex+e-x
设（0，+∞）上任意两个实数x1，x2，且x1＜x2------（1分）
则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+
| ex2-ex1 |
| ex1ex2 |
| 1 |
| ex1+x2 |
=
| (ex1-ex2)(ex1+x2-1) |
| ex1+x2 |
∵0＜x1＜x2且y=ex在R为增函数，
∴ex1＜ex2，x1+x2＞0∴ex1-ex2＜0；ex1+x2＞e0=1------（2分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．------（1分）
点评：本题考查了奇函数的性质应用，以及单调性的定义进行证明的步骤，即取值、作差、变形、定号、下结论，关键是变形一定要彻底，化为因式相乘除的形式．
练习册系列答案
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