Question

如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P()，依题意得 　　|MA|－|MB|＝|PA|－|PB|＝＜|AB|＝4． 　　∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线． 　　设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 　　则c＝2，2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2． 　　∴曲线C的方程为． 　　解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得|MA|－|MB|＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4． 　　∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线． 　　设双曲线的方程为＞0，b＞0)． 　　则由解得a2＝b2＝2， 　　∴曲线C的方程为 　　(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． 　　设E(x，y)，F(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝，于是 　　|EF|＝ 　　＝ 　　而原点O到直线l的距离d＝， 　　∴S△DEF＝ 　　若△OEF面积不小于2，即S△OEF，则有 　　　　③ 　　综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1]∪(1－，1)∪(1，)． 　　解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 　　∴． 　　∴k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． 　　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得 　　|x1－x2|＝　　③ 　　当E、F在同一去上时(如图1所示)， 　　S△OEF＝ 　　当E、F在不同支上时(如图2所示)． 　　S△ODE＝ 　　综上得S△OEF＝于是 　　由|OD|＝2及③式，得S△OEF＝ 　　若△OEF面积不小于2 　　　　④ 　　综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1]∪(－1，1)∪(1，)． 　　本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力．(满分13分)