Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若x=

1

2

时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-x²+1，当a=-1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的导函数，根据若x=

1

2

时，f（x）取得极值得f′（

1

2

）=0，解之即可；
（Ⅱ）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；
（Ⅲ）当a=-1时，g（x）=lnx-x+1，求出g（x）的最大值，得到lnx≤x-1，然后转化成n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，
从而得到则

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，再累积加，最后利用裂项求和法得到不等式的右边．

解答：解：f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，
（Ⅰ）因为x=

1

2

时，f（x）取得极值，所以f′(

1

2

)=0，
即2+1+a=0，故a=-3．（3分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
（1）当△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
（2）当△＞0，即a＜-2

2

或a＞2

2

时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x²+ax+1，
由

h(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0?

得a＞0，所以a＞2

2

．
由（1）（2）可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[-2

2

，+∞)．（9分）
（Ⅲ）证明：g（x）=lnx+ax+1，当a=-1时，g（x）=lnx-x+1，其定义域是（0，+∞），
令g′(x)=

1

x

-1=0，得x=1．则g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值．
而g（1）=0．所以g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1．则

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

．
所以

ln22

22

+

ln32

32

++

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+(1-

1

n2

)
=(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
＜(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)
=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

．
所以结论成立．

点评：本题主要考查了了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于难题．