题目内容

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求
BN
的长；
（2）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（3）求证A1B⊥C1M．
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如图，以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴|
BN
|=
(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2
=
3
（2分）
（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．
∴
BA1
=(1，-1，2)，
CB1
=(0，1，2)，
BA1
•
CB1
=3，|
BA
1|=
6
，|
CB
1|=
5
（5分）
∴cos＜
BA1
•
CB1
＞=
BA1
•
CB1
|
BA1
|•|
CB1
|
=
1
10
30
（9分）
（3）证明：依题意得C1（0，0，2），M(
1
2
，
1
2
，2)
A1B
=（-1，1，-2），
C1M
=(
1
2
，
1
2
，0)，
∴
A1B
•
C1M
=-
1
2
+
1
2
+0=0，
∴
A1B
⊥
C1M
（12分）
练习册系列答案
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精英家教网如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=
2
，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M，求证：CD⊥平面BDM．
精英家教网如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．
（1）求直线BE与A1C所成的角；
（2）在线段AA1中上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出|
AF
|；若不存在，说明理由．
精英家教网如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是
 
．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；
（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．
精英家教网如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D棱B1B的中点．
（Ⅰ）证明：A1C1∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（Ⅲ）证明：直线A1D⊥平面ADC．

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