Question

已知函数f（x）=lnx，若存在g（x）使得g（x）≤f（x）恒成立，则称g（x）是f（x）的一个“下界函数”．
（Ⅰ）如果函数g（x）=

t

x

-lnx（t为实数）为f（x）的一个“下界函数”，求t的取值范围；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

，试问函数F（x）是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据g（x）≤f（x）恒成立，得到h（x）=2xlnx，对函数求导，得到函数在两个区间上的单调性，得到函数的最小值，根据函数的思想，得到t的取值范围．
（II）由（I）知，2xlnx≥-

2

e

，整理成lnx≥-

1

ex

，构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，两个最小值放在一起得到要求的结果，注意两个不等式的等号不能同时取得．

解答：解：（Ⅰ）

t

x

-lnx≤lnx恒成立，
∵x＞0，t≤2xlnx
令h（x）=2xlnx，则h′（x）=2（1+lnx）
当x∈(0，

1

e

)时，h′（x）＜0，h（x）在(0，

1

e

)上是减函数，
当x∈(

1

e

，+∞)，h′（x）＞0，h（x）在上(

1

e

，+∞)是增函数，
∴函数的最小值是-

2

e

，
∴t≤-

2

e

，
（Ⅱ）由（I）知，2xlnx≥-

2

e

，
∴lnx≥-

1

ex

F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

①，
∴F（x）≥

1

ex

-

1

ex

=

1

x

(

1

e

-

x

ex

)
令G（x）=

1

e

-

x

ex

，则G′（x）=e^-x（x-1）
则x∈（0，1）时，G（x）是减函数，
x∈（1，+∞）时，G（x）是增函数，
∴G（x）≥G（1）=0②，
∴F（x）=f（x）-

1

ex

+

2

ex

≥

1

x

(

1

e

-

x

ex

)≥0，
∵①②中等号取到的条件不同，
∴F（x）＞0，即函数F（x）不存在零点．

点评：本题考查函数的最值的求法，利用函数的导函数求函数的最值，本题是一个综合题目，可以作为高考卷的压轴题目，注意本题对于新定义的理解是解题的关键．