Question

要修建一扇环形花圃如下图，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，问当中心角α为多少时，其面积最大，并求其最大面积（中心角的大小限在0～π间）.

Answer 1

解法1：设内圆弧半径为r，则外圆弧的半径为2r，由于扇环形花圃周长为定值2l,则2r+α·r+α·2r=2l,解得α=.

∴S_扇环=α·（2r）²-α·r²=α·3r²=··3r²=-r²+lr=-(r-)²+.

当r=时，即α=时，扇环的面积最大，且最大值为.

解法2：设内圆弧的半径为r，则外圆弧的半径为2r.由于扇环形花圃周长为定值2l，则2r+α·r+2α·r=2l,解得：r=.

∴S_扇环=α·(2r)²-α·r²=α·3r²

=α·3·

=

=.

当即α=时,

S_扇环有最大值，且最大值为.