题目内容

定义在实数集上的函数f(x)，对任意x、y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．

(1)求证：f(0)＝1；

(2)求证：y＝f(x)是偶函数．

答案：
解析：

　　证明：(1)令x＝y＝0，则有2f(0)＝2[f(0)]2．

　　∵f(0)≠0，∴f(0)＝1．

　　(2)令x＝0，则有

　　f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)，

　　∴f(－y)＝f(y)，这说明f(x)为偶函数．


练习册系列答案
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定义在实数集上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
③g（x）=2x为函数f（x）=ex的一个承托函数；
④g（x）=
1
2
x为函数f（x）=x2的一个承托函数．
其中，正确的命题个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，（x∈N*），其导函数记为fn′（x），且满足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2为常数，x1≠x2．设函数g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无极值点，其导函数g′（x）有零点，求m的值；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．
已知定义在实数集上的函数f（x）满足xf（x）为偶函数，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且当1≤x≤3时，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0时，函数f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．
已知定义在实数集上的函数f（x）满足f（x+1）=
x
2
+2，则f-1（x+1）的表达式是（　　）
已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足：
（1）对任意的x，y∈R，f（x+y）=2f（x）•f（y），（2）f(0)=
12
．
请写出满足上述条件（1）和（2）的一个函数
f（x）=2x-1或2-x-1
f（x）=2x-1或2-x-1
（写出一个即可）

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