Question

设a为正实数，函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²-a²x+1，得f'（x）=3x²-2ax-a²．（2分）
令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

（5分）
∴f(x)极大=f(-

a

3

)=(-

a

3

)3-a(-

a

3

)2-a2×(-

a

3

)+1=

5

27

a3+1（6分）
f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在(-∞，-

a

3

)上递增，在(-

a

3

，a)上递减，在（a，+∞）上递增，
f(x)极大=f(-

a

3

)=

5

27

a3+1＞0(a＞0)，f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（9分）
当极小值f（a）=1-a³≥0，即0＜a≤1时，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有1个或0个零点，
此时f（-1）=a²-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1个零点，
∴0＜a≤1时，y=f（x）有1个或2个零点；                         （11分）
当极小值f（a）=1-a³＜0，即a＞1时，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有2个零点，
此时f（-a）=1-a³＜0，y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1个零点，
∴当a＞1时，y=f（x）有3个零点；                                 （13分）
综上，若函数y=f（x）至多有两个零点，则a的取值范围是a∈（0，1]．（14分）